Dimensions.

 

 

 

 

화가의 그림에서 표현된 4차원의 세계

뒤샹의 1912년 작품인 [계단을 내려오는 누드]는 마치 연속동작과 같은 느낌을 갖도록 누드에 잉크를 채워서 계단 아래로 연속적으로 끌어내리기라도 한 것처럼 전체 움직임을 한눈에 볼 수 있다. 맥스 웨버는 1913년에 완성한 작품인 [4차원의 내부]에 우리가 알 수 없는 이상한 세계를 그려 넣었다.

 

달리의 그림에 나오는 정육면체 8개를 십자가 모양으로 쌓은 물체

또 살바도르 달리는 1954년에 [십자가에 못 박힌 예수-초입방체

Crucifixión / Corpus Hypercubus] 라는 작품에 4차원 입체도형의 전개도를 그려 넣었다. 그러나 수학을 전공하지 않은 사람은 그의 작품 속에서 4차원의 입체도형을 찾을 수 없을 것이다. 단지 십자가 모양으로 쌓여있는 8개의 정육면체에 못 박힌 예수님을 볼 수 있을 것이다. 이 세 화가의 작품 가운데 달리의 작품은 추상적이지 않은 것처럼 보이기 때문에 쉽게 이해할 수 있을 것 같다. 과연 어디에 4차원이 숨어 있을까?

0차원부터 시작하여 4차원으로 가보자

우선 0차원부터 시작하여 차례로 4차원까지 엄격한 학문적인 정의보다는 직관적인 생각으로 차원을 확장해 보자. 수학에서 0차원은 점이다. 즉, 움직일 수 있는 방향이 한 곳도 없고 단지 위치만 차지하고 있다. 이제 이 점에 잉크를 채워서 한 방향으로 일정하게 늘리면 선분이 된다. 즉, 1차원 도형인 선분을 얻을 수 있다. 마찬가지 방법으로 선분에 잉크를 채우고 수직 방향으로 일정한 길이로 끌면다음 그림과 같이 2차원 도형인 정사각형이 된다. 다시 2차원 정사각형에 잉크를 채우고 수직 방향으로 일정한 길이를 끌면 3차원 도형인 정육면체가 된다.

 

 

 

이쯤 되면 3차원 정육면체에 잉크를 채워 수직으로 끌면 4차원 입체도형이 될 것이라는 것을 상상할 수 있다. 그리고 우리는 그렇게 해서 얻은 4차원 입체도형을 ‘ 초입방체(tesseract)’라고 한다.

 

4차원의 도형을 보다 정확하게 그릴 방법은 없을까?

앞면과 뒷면만 정사각형이고 나머지는 평행사변형이므로 직각이 아닌 각이 있다.

그런데 과연 위에 그림이 4차원의 도형을 정확하게 그린 것일까? 사실 3차원 입체도형인 정육면체의 그림조차도 정확하지 않다. 왜냐하면 3차원 공간에 있는 도형을 2차원 평면에 그리려면 한 차원을 낮춰야 하기 때문이다. 그래서 정육면체는 실제와 다르게 앞면과 뒷면만이 정사각형이고 나머지는 정사각형이 아닌 평행사변형으로 그려서 시각화 한 것이다. 즉, 실제 정육면체는 각 면에 있는 모든 각이 직각이어야 하지만 왼쪽 그림과 같이 두 면을 제외하고 나머지 4개의 면에는 직각이 없다.

2차원 평면에 3차원을 그리려면 그림을 약간 왜곡하여 한 차원만 확장하면 되지만 2차원 평면에 4차원을 그리려면 두 개의 차원을 확장해야 한다. 따라서 우리가 눈으로 보는 것에는 한계가 있을 수밖에 없다. 하지만 4차원 입체도형을 좀 더 자세히 볼 수 있는 다른 방법이 있다. 이 경우도 우선 3차원 입체도형에서 시작하자.

 

높은 차원의 도형을 보다 정확히 표현하는 방법, 전개도

 

3차원인 정육면체를 평면에 정확하게 표현하는 방법 가운데 하나는 전개도를 그리는 것이다. 다음 그림과 같이 정육면체의 모서리를 분해하여 펼쳐놓으면 2차원 평면이 되며, 전개도에는 모든 각이 직각인 완벽한 정사각형 6개가 나타나게 된다. 이때, 정육면체의 각 모서리가 전개도의 어느 정사각형과 접하게 되는지 알려면 각 모서리에 1부터 12까지 번호를 붙여 전개도에 나타내면 된다.

 

위의 그림에서 오른쪽 전개도의 정사각형의 변을 한 쌍씩 맞붙이면 다시 왼쪽의 정육면체가 된다. 즉, 2차원 평면에 그려진 전개도에서 맞붙었던 1차원의 선분(모서리)를 붙여서 3차원의 정육면체를 만드는 것이다.

 

4차원 초입방체의 전개도는?

마찬가지 방법으로 4차원 초입방체의 접힌 부분을 펴면 모든 각이 직각을 이룬 8개의 정육면체가 되는데, 이것은 다음 그림과 같은 십자가 모양의 전개도가 된다. 이 그림에서도 3차원 입체도형의 2차원 면을 한 쌍씩 맞붙이면 4차원 초입방체가 되는 것이다. 즉, 초입방체의 전개도에 표시된 숫자는 붙어있었던 면을 나타내며 이 면들을 맞붙이면 초입방체가 되는 것이다. 이것을 붙이는 방법은 나중에 자세하게 설명하는 기회를 가지도록 하겠다.

같은 번호의 면을 맞붙이면 초입방체가 된다.

 

 

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3차원 도형 인간이 2차원 선분 세상에 가면 어떤 일이 벌어질까. 4차원 도형 인간이 3차원의 세계에 놀러온다면 또 어떤 일이 벌어질까. 100년도 전에 이런 상상을 담은 소설, ‘플랫랜드’가 영국에서 나왔다. 플랫랜드의 작가는 19세기 영국의 신학자이자 문학가이고 교육자이기도 한 에드윈 에벗(1838~1926)이다. 정교한 수학적 논리로 4차원 세계를 예측한 플랫랜드는 과학적 가치가 높은 문학작품이어서 1952년 2판이 출간되었을 때 아인슈타인의 동료인 바네시 호프만이 추천사를 쓸 정도였다.

소설 표지에 저자는 ‘정사각형(A Square)’으로 되어 있다. 이 소설은 영국 빅토리아 여왕 시대의 사회적 모순과 병폐를 신랄하게 비판하기 때문에 필명을 사용한 것이다. 또 저자는 비교적 가벼운 내용의 플랫랜드가 자신의 학문적 명성에 누가 될까봐 필명으로 발표했다는 해석도 있다. 그러나 아이러니하게도 그에게 유명세를 안겨준 대표작은 바로 이 소설이다.

 

소설 [플랫랜드]의 표지. 저자는 정사각형(A Square)으로, 애드윈 애벗(Ediwin A. Abott 1838-1926)의 필명이다.

납작한 나라, 플랫랜드

플랫랜드(Flatland, 1884년)’는 제목이 의미하듯 평평한(flat) 세계(land), 즉 2차원 평면세계를 다룬 소설이다. 1부는 플랫랜드에 살고 있는 평면도형 자체에 대한 설명, 그리고 평면도형의 생활과 제도를 기반으로 전개된다. 플랫랜드의 평면도형들은 인간과 마찬가지로 감정을 가지고 사고를 하며 사회생활을 하는데, 그 모양은 성별과 신분에 따라 결정된다.

 

플랫랜드 표지 그림에 나온 집. 여성(Wife, Daughter)는 선분이며, 남성들은 다각형으로 나타난다.

우선 여성은 넓이가 없는 선분이다. 양끝이 날카로운 선분이 다른 도형과 부딪힐 경우 다칠 수 있으므로, 여성의 행동 지침은 법으로 정해져 있다.

1차원 선분으로 표현되는 여성과 달리 남성은 넓이를 갖는 평면도형이다. 하층 계급은 이등변삼각형, 중간계급은 정삼각형, 전문직 종사자는 정사각형이나 정오각형, 귀족은 정육각형 이상의 정다각형으로, 신분이 높을수록 변의 수가 많다. 특히 성직자는 원으로 표현된다. 이는 소설이 나올 당시 지나친 특권을 누리고 있었던 영국 성직자를 비판한 것이다.

하층 계급인 이등변삼각형은 신분이 낮아질수록 밑변의 길이가 짧아지고 꼭지각이 작아진다. 이처럼 이등변삼각형의 모양이 뾰족해지면 선분에 가까워지므로 남성 하층 계급의 최저 신분과 여성은 맞닿게 된다. 저자는 양성평등에 대한 의식이 투철했지만, 당시 지배적이던 성차별적 이데올로기를 비판적으로 드러내기 위해 여성을 평면도형보다 한 차원 낮은 선분으로 표현한 것이다.

플랫랜드의 평면도형들은 서로를 평면도형이 아닌 선분으로 식별한다. 이해를 돕기 위해 동전을 갖고 실험해 보자. 실제 3차원에서 동전을 보면 우리가 알고 있는 원으로 보이지만, 점차 평면에 가까운 위치에서 보면 타원 모양으로 납작해지다가, 평면에서는 동그라미가 선분으로 보인다. 이런식으로 2차원의 평면도형들은 서로를 1차원 선분으로 보게 된다.

 

다른 차원의 나라를 방문하다

소설의 2부는 주인공이 1999년 마지막 날 꾸는 꿈으로 시작된다. 꿈 속에서 주인공인 정사각형은 1차원인 라인랜드(선분)와 0차원인 포인트랜드(점)를 차례로 방문한다. 정사각형은 라인랜드와 포인트랜드에서 더 높은 차원의 플랫랜드가 존재함을 알려주려고 하지만, 그 세계에 사는 도형들은 생각의 한계를 뛰어넘지 못한다.

이번에는 스페이스랜드(입체도형)의 구(Sphere)가 플랫랜드를 방문해 3차원 세계에 대해 설명 한다. 주인공인 정사각형은 라인랜드나 포인트랜드의 도형들이 그랬듯이 처음에는 3차원 세계의 존재를 믿지 못한다.

구는 가로와 세로에 높이라는 새로운 방향을 추가하면 3차원이 됨을 설명하지만 2차원 평면세계에 익숙한 주인공은 이해하지 못한 것이다. 이에 구는 평면을 관통하면서 구의 단면인 원의 크기가 변화하는 것을 보여주었고, 비로소 정사각형은 구의 존재를 인식하고 2차원보다 높은 차원의 세계가 있다는 것을 인정하게 된다.

구의 단면인 원의 크기가 위치에 따라 변한다.

 

정사각형은 새로 알게 된 3차원 세계의 복음을 플랫랜드 사람들에게 널리 알리려 했지만, 불온한 사상을 전파한다는 이유로 재판에 회부되어 종신형을 선고 받는다. 소설의 끝은 투옥 후 7년이 경과한 시점으로, 정사각형은 차원의 진리를 알리기 위해 감옥에서 글을 남기기로 결심하면서 대단원의 막을 내린다.

 

4차원 피라미드가 있다?

지금부터는 조금 어렵다. 그렇다면 4차원 도형은 어떻게 만들 수 있을까? 4차원 도형을 구체적으로 눈에 보이게 만들기는 어렵지만, 1차원 선분에서 2차원 평면도형으로, 또 2차원 평면도형에서 3차원 입체도형으로 차원을 높인 과정을 적용하면 4차원 도형을 추론할 수 있다. 정사면체에서 출발해 4차원 도형을 머릿속에 그려보자.

2차원 평면도형의 기본은 꼭짓점이 3개인 삼각형이고, 3차원 공간도형의 기본은 꼭짓점이 4개인 사면체이다. 그렇다면 4차원 도형의 기본은 꼭짓점이 5개인 도형이라고 예상할 수 있다.

한편 2차원의 변이나 3차원의 모서리는 두 개의 꼭짓점을 연결해 만들어진다. 즉 사면체의 모서리 개수는 4개의 꼭짓점에서 2개를 선택하는 경우의 수와 같고, 이는 조합(combination), 즉 ₄C₂=6을 이용해 구할 수 있다. 사면체를 이루는 삼각형 면의 개수는 4개의 꼭짓점에서 3개를 선택하는 경우의 수와 같고, 조합 ₄C₃=4를 이용해 구할 수 있다. 이 방법을 4차원에 적용해보자. 4차원 기본 도형은 5개의 꼭짓점을 가지므로, 모서리의 개수는 ₅C₂=10이고, 삼각형 면의 개수는 ₅C₃=10이다. 또 4차원 기본 도형이 포함하는 사면체는 4개의 꼭짓점으로 이루어져 있으므로, 사면체의 개수는 ₅C₄=5이다.

4차원 초정다면체는 총 6종류가 있다. 윗줄에 5-셀, 8-셀, 16-셀, 아래줄에 24-셀, 120-셀, 600-셀을 표시했다. <출처: © Robert Webb's Stella software>

 

 

1차원 도형은 선분, 2차원 도형은 다각형, 3차원 도형은 다면체이고, 4차원 도형은 초다면체라고 한다. 2차원 평면도형은 변의 개수에 따라 n각형, 3차원 입체도형은 면의 개수에 따라 n면체라고 하는 것처럼, 4차원 도형은 포함하고 있는 입체의 개수에 따라 n-셀(n-cell)이라고 부른다. 여기서 만든 4차원 도형은 5개의 사면체를 포함하므로 5-셀 혹은 5포체라고 한다. 이 4차원 도형은 3차원 도형인 사면체, 즉 피라미드를 한 차원 높인 것이기 때문에 초사면체(hyperpyramid)라고도 한다.

 

4차원 초다면체의 매력

정육면체에서 출발한 초입방체는 그 자체로 아름답기 때문에 건축물에 이용되기도 한다. 파리 서쪽 라 데팡스 지역에 위치한 신개선문 ‘그랑드 아르슈(Grande Arche)’는 초입방체 모양이다. 1989년 7월 14일 프랑스혁명 200주년을 기념해 세운 그랑드 아르슈의 높이는 105m로, 파리 중심에 위치한 개선문 크기의 두 배다. 4차원 초다면체들은 상상하기조차 어려울 정도로 복잡하지만, 아름다운 대칭 모양이다.

 

 

 

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우리는 현재 가로, 세로, 높이가 있는 3차원 입체 세상에서 살고 있습니다

하지만 물리학자들은 3차원 이상의 4차원,5차원....이 존재한다고 하는데요

4차원 이상부터는 도대체 어떻게 생겼으며, 그 특징은 뭘까요?

그냥 스무스하게 쭉 읽어보시면 될 것 같습니다.

 

먼저 0차원부터 4차원까지 쭉 한번 살펴보기로 하죠.

 

 

▲ 0차원(점) 에서는 빨간 점이 상하좌우 어디로도 이동이 불가능합니다.

 

 

▲ 1차원(선) 에서는 빨간 점이 좌, 우 방향으로 이동이 가능합니다.

    (x축) 위 아래 위 위 아래로는 이동이 불가능하지요

 

 

 

▲ 2차원에서는 빨간 점이 좌우 뿐만 아니라 위 아래로 자유롭게 이동이 가능합니다.

간단하게는 선 2개가 수직으로 만나는 차원이라고 생각하시면 쉽지요.

(x축, y축) 허나 2차원에서도 앞 뒤로 이동은 불가능한데요

 

 

 

 

▲ 3차원에서는 상하좌우 뿐만 아니라 앞뒤 로도 이동이 가능합니다.

물리적인 이동에 제약이 없는 상태로서 현재 우리가 살고 있는 세계도 3차원이지요 

마찬가지로 직선 '3'개가 서로 수직으로 만나는 차원이라고 보시면 됩니다.

(x축, y축, z축)

 

 

3차원까지는 간단한 그림만으로도 이해가 쉽지만, 4차원부터는 표현의 한계와

밝혀지지 않은 부분들 때문에 이해하기가 쉽지 않습니다.

 

▲ 4차원 공간은 직선 4개가 서로 수직으로 만나는 차원입니다.

우리가 살고 있는 세계는 3차원이기 때문에 4차원의 도형을 실제로 보는건 어렵겠지만,

컴퓨터 그래픽으로나마 그 생김새를 유추해볼 수 있죠.

 

 

 

 

▲ 저 각각의 공간들이 우리가 현재 살고 있는 3차원 세계라고 보시면 됩니다.

5차원 공간도 4차원과 마찬가지로

직선 5개가 서로 수직으로 만나는 공간 이라고 생각하시면 되겠죠?

 

 

 

여기서 차원을 보는 또다른 관점이 있습니다.

바로 '시간' 이 포함된 차원인데요

인간은 항상 흘러가는 시간 속에서 살기 때문에

(x,y,z)의 좌표만으로 이 세계를 표현할 수는 없습니다.

가령,

 

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"신천역 4번출구에서 만나자"

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▲ 위의 문장에는 x축, y축, z축이 모두 나와있어서 차원상으론 문제가 없지만

'시간' 이 명시되어 있지 않기 때문에 실제로 만날 수 있는 확률은 매우 적지요.

따라서 학자들은 3차원 입체세계에 1차원(시간)을 추가하여

4차원 시공간 이라는 용어를 사용하기로 합의합니다.

(4차원 시공간과 4차원 공간은 매우 다른 의미입니다!!!)

 

 

 

▲ 4차원 시공간은 위에서 설명했다시피

3차원(공간)에 1차원(시간)이 더해져 생긴 시공간입니다.

허나 이 시간은 상당히 제한적이라서, 과거로 돌아갈 순 없습니다

흘러가는 시간을 화살에 비유하는 까닭이 바로 그 이유지요

 

 

 

 

▲ 5차원 시공간은 4차원 시공간이 한 단계 발전한 차원입니다

즉 4차원 시공간에서는 제한이 많았던 시간이 완전 자유롭게 변하는 것이지요

즉, 이론상으로 5차원 시공간에서는 과거와 미래를 자유자재로 조종할 수 있게 됩니다.

 

이와 더불어 공간에 대한 자유로움도 발전하기 때문에

달걀을 깨지 않고 노른자를 꺼내는 등의 행위가 가능해집니다.

아래의 그림을 보시죠

 

 

▲ 0차원 공간(점)에 갇혀 탈출이 불가능했던 개미는 1차원 공간(선)으로 옮겨짐으로써 자유로워집니다.

 

 

 

 

 

▲ 1차원 공간(선)에 갇혀 탈출이 불가능했던 개미는 2차원 공간(면)으로 옮겨짐으로써 자유로워집니다.

 

 

 

 

 

▲ 2차원 공간(면)에 갇혀 탈출이 불가능했던 개미는 3차원 공간(입체)으로 옮겨짐으로써 자유로워집니다.

 

 

 

 

 

 

▲ 위의 것들과 같은 방식으로, 3차원 입체 공간에 갇혀서 탈출이 불가능했던 개미는

4차원 공간으로 이동함으로써 밀폐된 3차원 도형에서의 탈출이 가능해집니다.

그리고 5차원 시공간으로 이동하게 되면

밀폐된 3차원 도형에서의 탈출 뿐만 아니라 미래, 과거로 자유롭게 시간이동을 할 수 있습니다.